Encontrar un polinomio que pase por ciertos puntos

Desmotivación Preliminar!

 
Se supone que siempre en un escrito se debe comenzar con una especie de gancho publicitario, para mantener al lector interesado  en lo que viene a continuación. Casi siempre he intentado eso, pero ahora voy a hacer exactamente lo contrario (a veces haciendo lo contrario de lo que se espera funciona mejor: no es una ley científica así es que no abusen de ella), bueno, y es por lo siguiente: la verdad, no se como para que o que, va a querer uno hallar (en la vida real, en la práctica que es de lo que se trata toda esta web) un polinomio que pase por ciertos puntos...
 
...Lo publico por que durante mucho tiempo en la universidad me pregunté como haría para encontrar una función (no necesariamente polinómica) que pasara por ciertos puntos, pues según mi forma de razonar en ese entonces, con eso sacaría muchos problemas, por ejemplo, cuando tenía que consultar las tablas termodinámicas soñaba con tener una función simple, polinómica, donde sencillamente pudiera relacionar temperatura y presión... jajaja... si todo fuera así de sencillo. También me lo pregunté cuando vi en clase el tema de Pronósticos... pues si aseguraba una función que pasará por todos los puntos -pensaba yo en ese entonces- pues no sería sino pasarle un argumento de variable independiente futuro y tendría el mejor pronóstico.

Ah días aquellos de asombrosa ingenuidad (lo mismo estaré pensando en algún tiempo, sobre estos tiempos). Pues bien, por ejemplo para las tablas termodinámicas son el resultado de relaciones mucho más intrincadas que un simple polinomio no podría describir, lo mismo que un pronóstico de ventas. Sin embargo, he leído que esta técnica de asombrosa simplicidad es importante en la teoría de interpolación, y es probable que hayan muy importantes aplicaciones a esto, pero sinceramente las desconozco, si ud querido lector sabe de alguna, por favor escríbame que la publicaré al final de esta página, y si después de tres largos párrafos de desmotivación aún quiere seguir leyendo, pues adelante.
 
De todos modos, si esto no sirve para nada útil, se habrá entretenido un rato...  ;-)
 
 

El Algoritmo:


Cuando lo entendí me pareció tan increíblemente estúpido de mi parte que no se me haya ocurrido por mi mismo, bueno, no más carreta y aquí va (como decimos aquí en Colombia: Mucho tilin tilin y nada de paletas):

Supongamos que tenemos una serie de cuatro puntos (x1,y1), (x2,y2),(x3,y3), (x4,y4) y queremos encontrar un polinomio de tercer grado y que pase exactamente por ellos.  Okay, entonces la forma del polinomio es la siguiente:

Y = a + bX + cX2 + dX3

He colocado con azulito las letras a,b,c y d (que en adelante llamaremos parámetros) para llamar la atención, pues el valor de ellas son las que distinguen un polinomio de tercer grado con otro de tercer grado, y en definitiva son ellas quienes deseamos encontrar... por lo tanto para nosotros, ellas serán las variables.

Bueno, entonces el problema se resume en encontrar el valor de a.b.c y d para distinguir el dichoso polinomio que pase por los puntos. Y que sabemos? Que cuando X vale x1 Y vale Y1, cuando X vale x2 Y vale Y2... ahora, digamos que los datos son los siguientes:
 
X Y
0 1
1 8
2 31
3 82
 
 Entonces, cuando nosotros reemplacemos X por 0 Y debe dar 1, cuando reemplacemos X por 1 Y debe dar 8 y así... esto significa que podríamos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
 
a  + bX      +cX^2      +dX^3     = Y      
a +0 +0 +0 =1
a +b +c +d =8
a +2b +4c +8d =31
a +3b +9c +27d =82

 

 

Solución:

a=1
b=3
c=2
d=2

 

Y=1+3X + 2X^2 +2X^3

 

 

 

"Para que haya una solución única el sistema de ecuaciones la matriz debe ser cuadrada o sea que deben haber tantos puntos como parámetros tenga el Polinomio."

Postdata: Esta página no hace parte de los algoritmos de Investigación de Operaciones, pero no supe donde más colocarla! 

 

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