Una Ecuación Fallida

 

« Si no duele...  No Sirve »
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 Hace  años Albert Einstein, tras de varios infructuosos años de buscar las Ecuaciones de Campo Unificado, decidió publicar sus estudios, que lo habían llevado por caminos incorrectos. Le preguntaron a Einstein, que si estaban equivocados, para que los publicaba, y el respondió: "para que otra persona, no repita las mismas tonterías que yo". Okay, aunque lo que presento aquí no son las Ecuaciones de Campo Unificado :-) , si representa uno de los muchos intentos  infructuosos que he realizado. A pesar de eso, me parece importante compartir el sistema de pensamiento, de deducción, de prueba, en un problema totalmente real y práctico.


 Objetivo:

 

Encontrar una expresión matemática para el siguiente problema: En producción en muchas ocasiones se manejan insumos, materia prima en forma de rollos: por ejemplo, rollos de tela, rollos de plástico, etc. Cuando se reciben por parte del proveedor, obviamente que es deseable medir su longitud, para verificar que lo que se está comprando es lo que se está recibiendo; o en cualquier otro instante de tiempo, que se quiera hacer una verificación también es necesario medir su longitud... pero, por supuesto, esto no siempre es posible, por que la medida del rollo implica un proceso que puede tomar mucho tiempo. Entonces? Pues, el objetivo es encontrar una expresión matemática, dónde se relacionen unas variables del rollo que sean FÁCIL Y RÁPIDAMENTE medibles, y que con ellas se encuentre la longitud del rollo.

 

 


Desarrollo de la Expresión:


 El rollo comienza con un primer circulo, cada circulo concéntrico  posterior será mayor que el anterior. La suma de las magnitudes de estos círculos nos da la longitud del rollo.


Preliminares:


Sabemos que existe una relación constante entre el Diámetro del Circulo, y la circunferencia (distancia total recorrida desde un punto en el circulo, hasta dar la vuelta y volver a él), y lo conocemos por el archiconocidísimo número Pi  (Aproximadamente 3.1415926535897932384626433832795) , la relación es:


Pi = C / D   Es decir:  

 

Pi = Circunferencia / Diámetro


Como el diámetro es 2 el radio del circulo, entonces:  D = 2r  =>  Pi = C / 2r
Por lo tanto:

 

C = 2Pi  R

 

Progresiones Aritméticas:

 

Cuando pensé por primera vez como resolverlo  matemáticamente, lo primero que se me ocurrió fue  plantearlo como una ecuación diferencial, pues pensaba encontrar primero una función que me describiera la razón de cambio de la longitud del rollo con respecto al ancho del mismo, pasándole unos parámetros iniciales como son el primer radio y el espesor  para luego integrar dicha ecuación y llegar así a la función esperada.  Y me pasó lo que le ha sucedido a muchas personas antes: y es pensar primero en la forma difícil que en la forma fácil y obvia. Claro! Cuando comencé a rallar para plantear la ecuación diferencial, me di cuenta que si iba a manejar un modelo de círculos concéntricos donde cada radio es igual al anterior mas un valor que es igual al espesor del rollo... realmente estaba hablando de una simple y sencillísima progresión aritmética. Para el que no se acuerde que es eso, digamos como para dimensionar la complejidad que las progresiones aritméticas las estudia uno en sexto año de secundaria en cambio las ecuaciones diferenciales, con suerte se estudian en segundo año de universidad, una vez se haya cursado el cálculo diferencial y el cálculo integral...


... y las progresiones aritméticas son cosas de niños. Lo digo irónicamente por que las descubrió un niño... sólo que este niño no era nadie menos que Karl Friedrich Gauss, EL Principe de las Matemáticas. Cuando Gauss apenas contaba con algunos años, su profesora colocó a su curso, para tenerlos quietos, a hallar la suma de los números del 1 al 100. El pequeño Gauss, escribió tan sólo unos números y volteó su pizarra, la profesora fue a ver, por que él no se hallaba enzarzado en cálculos como sus  compañeros, la profesora, vio el resultado correcto de la operación. Gauss, descubrió que si sumaba el primer y el último valor de la serie, da el mismo valor que si suma el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo,  y así podría formar 50 parejas, que sumaban exactamente lo mismo: 101, y 101 X 50 = 5.050 que es el resultado correcto de la suma.

 

 

 

Si 'a' es el primer término de la serie (en el ejemplo anterior = 1), y la razón (el valor que sumado a cada término da el próximo), la llamamos r, entonces la suma de los primeros n términos estará dado por:


Primer Término = a
Segundo Término = a + r
Tercer Término = a + r + r = a + 2r
 ...
Ultimo Término = a + (n-1)r


S= a + (a+r) + (a+r+r) + (a+r+r+r)+...+(a+(n-1)r)


Cómo Gauss, descubrió que la suma del primer término y del último, es igual al de la segunda y al penúltimo, y así, y que hay tantas parejas como la mitad de los términos, entonces:

 

 



Ahora si sabemos que el primer valor (a) se corresponde con el primer círculo, que el número de términos es igual al ancho del rollo (arriba en el dibujo se ve acotado por 'a') dividido por el espesor del rollo 'e'

 


Donde: (Ver a dibujo del rollo arriba para las variables)


  r= e
Sustituyendo:

 

 

 

Donde: A el ancho del rollo (ver figura arriba) , e el espesor de cada vuelta, r1, el primer radio, es decir el más interior.


Okay. Esa es nuestra dichosa y fallida ecuación... pero que tiene de malo? Casi nada, que hasta ahora todas las mediciones que he hecho para utilizarla han sido infructuosas, creo que principalmente por la dificultad de medir de una forma precisa el valor del espesor de cada vuelta del rollo (e), pues si la relación de A/e varia mucho, el resultado arrojado estará muy lejos del correcto...
... entonces que hacemos? Por ahora nos ha tocado seguir el camino más sencillo (como dijo Albert Einstein: haz las cosas lo más sencillas posibles; pero no más), utilizando lo que nos enseño Arquímedes de Siracusa: la densidad!!  Aquí, una densidad lineal. Pues que, medir en una bascula lo más precisa posible, cuanto pesa un metro del material del rollo, y tenerlo como referencia. Luego cada vez que necesitemos la longitud de todo el rollo, pesarlo totalmente, restarle el peso de cualquier elemento extraño al mismo (a veces pueden tener algo en la mitad como un tubo de cartón, para que no se deforme) y el resultarlo dividirlo por el peso por metro. Más fácil... y hasta ahora mucho más preciso que mi ^&$^#%_)(*&^*&*&*^%&$&$%@^%))( $^%$ ecuación!! La diferencia es que normalmente cargo un metro en el cinturón, con que medir longitudes, pero no ando con una báscula en el cinturón!!

Me gustaría saber de sus propios intentos, de sus casos exitosos, o ecuaciones fallidas como esta
... 

 


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