Localización

 

El Problema de Weber



 

"Los problemas de localización se dirigen a investigar la decisión de donde localizar una o unas facilidades centrales que a su vez satisfacen unos puntos de demanda o clientes; por lo general, se hace mención de sistemas de distribución o sistemas logísticos."

 

(Varela, Jaime. Introducción a la Investigación de Operaciones).

 

El problema más sencillo de localización es en el que se debe determinar el lugar del emplazamiento desde o  hacia el cuál se transportará material, acarreando un costo por unidad de distancia.  Esto es lo que se conoce en Administración de Operaciones como El Problema de Weber


El problema toma como base las coordenadas de los puntos desde o hacia los cuales hay que transportar el material. El sistema de coordenadas se puede tomar arbitrariamente desde un mapa, dando parejas ordenadas (Ai, Bi) . Podemos denotar la posición optima del emplazamiento por las variables X,Y.


Como habíamos comentado antes, transportar el material desde el punto X,Y hasta los puntos Ai, Bi tiene un costo asociado Wi que puede estar en función de la distancia y del volumen o peso  del  material a transportar.  Así es que nuestro problema se reduce a encontrar las coordenadas X,Y del nuevo emplazamiento tal que el costo de transporte total sea mínimo.


O sea


Min Z =  Wi  * di,    donde di es la distancia que hay entre X,Y y Ai, Bi, dada en unidades de longitud.


Wi es el costo por unidad de longitud.


di se puede tomar de manera Euclidiana o Rectangular. Cómo así? Pues, si se dibuja un triángulo rectángulo donde un punto está en un extremo de la hipotenusa y el otro punto en el otro extremo, la longitud de la hipotenusa será la distancia Euclidiana y la suma de las longitudes de los catetos será la distancia rectangular.

 


 


En la práctica es poco probable que el tipo de distancia elegido sea exacto con lo que se tiene en la realidad, por las curvas, las subidas y bajadas, etc. Así es que se debe escoger la que mejor se acerque a la realidad.


La distancia Euclidiana está dada por la fórmula de la distancia de dos puntos:


 

Entonces la función completa queda:

 



Para encontrar el mínimo de esta función se puede derivar la función e igualar a cero, para despejar las variables. Aquí las variables obviamente son X y Y. Como la función es de varias variables la derivada debe ser parcial y no total (obvio!). Primero tomemos la derivada con respecto a X igualando a cero:

 

 


 Como una raíz cuadrada es igual a una potencia con exponente 1/2,  se baja a multiplicar el 1/2 (bueno, el lector matemáticamente riguroso sabrá que está mal dicho,  pero es la forma más fácil de explicar la derivada) y se le resta 1 al exponente: 1/2-1= -1/2, luego se multiplica por la derivada interna, como la Y se toma como constante al derivar con respecto a X, da cero la derivada de ese paréntesis, pero la del otro da: -2*(Ai-x). Es decir:

 



Se cancela el 2 en el numerador y el 2 en el denominador, se pasa el termino con exponente negativo al denominador con exponente positivo, el signo menos (que a la final es un -1 multiplicando todo) se puede sacar de la sumatoria y pasar a divir el cero  con lo que se cancela (ya se, ya se, que no es ortodoxo decirlo con esas palabras, pero es para entender) y queda expresado:

 


 
La idea aquí es poder despejar la X ( y obviamente la Y) en función de Wi,Ai, y Bi. Como se puede observar la X está en el numerador  y en el denominador está como parte de un binomio y para acabar de rematar dentro de un radical! Pues ya mucha gente le dedico horas y horas a tratar de despejarla infructuosamente. Como no se puede despejar significa que no tendremos respuesta directa, pero no nos desanimemos, los mismos que le dedicaron horas y horas a intentar despejarla pues encontraron una forma iterativa que converge al óptimo, para eso hicieron lo siguiente, con base en la expresión anterior:
El numerador se puede escribir como: WiAi - WiX, al multiplicar Wi por cada uno de los elementos del paréntesis, ahora el denominador se puede repartir en cada termino del numerador y queda de la siguiente forma:


Para escribir menos, llamemos di a lo siguiente:

 



Entonces:

 

 

 
Tal vez se pregunte: cómo se saco la X de la sumatoria si X es una variable? Pues mientras se hizo la derivación parcial la X representaba una variable, pero luego que se hizo la derivada parcial la X representa un valor conocido, es decir una constante. Por eso se puede factorizar dentro de la sumatoria y sacarla de ella.
Bueno, la anterior expresión, es una fórmula recursiva, es decir dado un valor de x, se puede encontrar uno nuevo que será mejor que el anterior. Como di está en función de X, hay que partir de un valor inicial de X.
Siguiendo el mismo proceso, la expresión para hallar Y es la siguiente:

 


Y con qué valor se empieza? Con cualquiera, pero observando las ecuaciones se puede pensar que es mejor el siguiente:


Xo=sumatoria WiAi / sumatoria Wi  y
Yo = sumatoria WiBi/ Sumatoria Wi

 

Ejemplo: (Introducción  a la Investigación de Operaciones. Jaime Varela, Fondo Educativo Interamericano, pag 225)

 

Encontrar las coordenas de la instalación de la planta de producción que minimice el costo total de transporte a los siguientes almacenes de distribución:

 

 

  

Para encontrar el Xo, Yo es necesario hacer tablas de WiAi, WiBi

 

 

 

Xo=1964/162=12.1234
Yo=1582/162=9.76
Ahora con los valores de Xo,Yo se calcula cada uno de las distancias di, y se fabrica la siguiente tabla:
 

 

X1=195.380478/16.1103405=12.1276
Y1=163.631218/16.1103405=10.1569

 

El procedimiento debe continuar hasta que el nuevo valor de X y de Y sea suficientemente cerca del anterior. El suficientemente cerca, lo decide ud.


Si no desea realizar tanto cálculo manual, puede ver como resolver este problema con Excel Solver
.

 

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