Regresión Cuadrática

La regresión cuadrática es el proceso por el cuál encontramos los parámetros de una parábola que mejor se ajusten a una serie de datos que poseemos, ya sean mediciones hechas o de otro tipo. Bueno, pero por que habríamos de querer ajustar nuestros datos precisamente a una parábola y no a otra función? (ver escogiendo la función de ajuste).
 
 
Una función cuadrática o de segundo grado se puede representar de manera genérica como :
 
 

Entonces lo que nos interesa es encontrar los valores de a, b y c que hacen que el valor de y calculado sea lo mas cercano posible al medido.  

 

 

 

Deducción de las Ecuaciones:

 

De nuevo hacemos una definición de la función de error, y encontramos los valores de los parámetros que la minimizan, tomando derivadas parciales de la función por cada parámetro que haya:
 
 
 
 
 
 
Una vez se haya reemplazado el valor de n, y de las sumatorias, sólo habrá que solucionar el sistema de ecuaciones por su método preferido, Eliminación Gaussiana, Krammer, etc.  Después de que ha solucionado el sistema de ecuaciones entonces tendrá el valor de los parámetros: a,b,c.
 
Ejemplo:
 
En determinado proceso se realizaron una serie de 24 mediciones, que luego al graficarse se determinó que es de naturaleza cuadrática. Se desea encontrar los parámetros del polinomio de segundo grado, que mejor se ajusta a esa serie de datos, y cuál es el valor de la variable dependiente, cuando el valor de la variable independiente es de 20.

La tabla con los datos medidos es la siguiente:
 
X Y
0 10,08
0,5 12,03
1 11,38
1,5 18,81
2 20,53
2,5 28,50
3 31,38
3,5 38,40
4 48,39
4,5 60,60
5 66,66
5,5 82,61
6 91,37
6,5 105,44
7 122,53
7,5 137,77
8 152,74
8,5 172,65
9 188,84
9,5 207,77
10 230,94
10,5 251,35
11 274,07
11,5 295,95
 
Ahora, teniendo  en cuenta la matriz que dedujimos anteriormente, sabemos que tenemos que encontrar los valores de la suma de x, la suma de x2, de x3, x4, de Yi, xYi,  x2*Yi  y n=24.
 
X Y X^2 X^3 X^4 Xyi X^2Yi
0 10,08 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,5 12,03 0,25 0,13 0,06 6,01 3,01
1 11,38 1,00 1,00 1,00 11,38 11,38
1,5 18,81 2,25 3,38 5,06 28,21 42,31
2 20,53 4,00 8,00 16,00 41,06 82,13
2,5 28,50 6,25 15,63 39,06 71,24 178,11
3 31,38 9,00 27,00 81,00 94,14 282,41
3,5 38,40 12,25 42,88 150,06 134,39 470,36
4 48,39 16,00 64,00 256,00 193,56 774,26
4,5 60,60 20,25 91,13 410,06 272,68 1227,08
5 66,66 25,00 125,00 625,00 333,31 1666,55
5,5 82,61 30,25 166,38 915,06 454,37 2499,02
6 91,37 36,00 216,00 1296,00 548,23 3289,38
6,5 105,44 42,25 274,63 1785,06 685,39 4455,05
7 122,53 49,00 343,00 2401,00 857,74 6004,20
7,5 137,77 56,25 421,88 3164,06 1033,24 7749,32
8 152,74 64,00 512,00 4096,00 1221,90 9775,23
8,5 172,65 72,25 614,13 5220,06 1467,54 12474,08
9 188,84 81,00 729,00 6561,00 1699,55 15295,92
9,5 207,77 90,25 857,38 8145,06 1973,80 18751,13
10 230,94 100,00 1000,00 10000,00 2309,40 23093,97
10,5 251,35 110,25 1157,63 12155,06 2639,18 27711,38
11 274,07 121,00 1331,00 14641,00 3014,81 33162,86
11,5 295,95 132,25 1520,88 17490,06 3403,37 39138,76
Total    138 266,078,166 1081 9522 89452,75 22494,51 208137,88
 
Reemplacemos los valores en la matriz...
 
Aquí tenemos la matriz, resolviendo, por Gauss Jordan
 
24 138 1081 2660,8
138 1081 9522 22495
1081 9522 89453 208138
 
 
5,75 45,04 110,86
0 287,5 3306,25 7195,4
0 3306,25 40762,95 88291,13
 
 
1 0 -21,08 -33,04
0 1 11,5 25,02
0 0 2741,08 5544,03
 
 
1 0 0 9,60
0 1 0 1,76
0 0 1 2,02     
 

Por lo tanto: a=9.6 b=1.76 c=2.02

la parábola de mejor ajuste es entonces:

 


Contenido :

Social