Método de la Gran M

Mientras que los Programas  Lineales que solo tienen restricciones de <= se pueden resolver sólo usando variables de holgura, para aquellos programas lineales que involucren restricciones de tipo >= e = es necesario como ya lo habíamos comentado, usar variables artificiales.  Dijimos también que las variables de holgura tenían un significado físico real que correspondía a las disponibilidades o requerimientos no usados en las restricciones, pero que las  variables  artificiales no tenían ninguna representación física y que sólo eran usadas como un comodín matemático para ayudar en la solución del problema. Pues bien, cuando tenemos que usar variables artificiales al tener restricciones de >= e = debemos usar uno de las siguientes variantes del simplex:
 
 
Aquí detallaremos el Método de la Gran M.
 
Definimos la letra M como un número muy grande pero finito para usarlo como coeficiente de las variables artificiales en  la función objetivo y con sentido contrario a la misma para penalizar de manera muy grande la existencia de las mismas en la solución.  Si el objetivo es minimizar las variables artirficiales entraran con M positivo y si es maximizar las variables artificiales se usaran como -M. 
 
Ejemplo:
 
Min Z  = 2X1 X2 + 3X3
Sujeto a:
                  3X1 +   X2 + 2X3   <=    10
                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6
                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9                   
                      X1X2  +2X3      =     7          
C.N.N
 
1. Convertir al Modelo Estándar:
 
Cada restricción debe ser convertida de inecuación a una igualdad, agregando variables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamente fácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en la misma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo:
 
                    3X1 +   X2 + 2X3   <=    10 queda:
                    3X1 +   X2 + 2X3 + S1  =    10
 
Se puede leer así:  el uso de la primera restricción no puede superar la disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado mas lo que sobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es la misma, de esta manera decir:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3    >=     6
 
Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6 unidades. Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlo también como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3    =     6   + S2 que es equivalente a decir: lo usado en la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 mas el adicional que esta en S2. Esto lo podemos reescribir como:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3  - S2   =     6  
 
Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= es necesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningún significado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo de la restricción como se muestra a continuación:
 
                    X1 -  2X2 + 3X3  - S2   + A1 =     6  
 
Al usar una variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos a incluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando la sumamos  + .MA1.
 
La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema con ella:
 
                  2X1 + 3X2 -    X3    <=     9   queda
                  2X1 + 3X2 -    X3  + S3  =     9  
 
La cuarta restricción es de tipo =. Para  este tipo de restricción simplemente adicionamos una variable artificial al lado izquierdo:
 
                      X1X2  +2X3      =     7 queda:
                      X1X2  +2X3    + A2  =     7
Recordemos: las variables de holgura quedan con coeficiente 0 en la función objetivo y las variables artificiales con coeficiente M. Positiva si es minimizando o negativa si es maximizando.
 
En resumen el modelo queda de la siguiente manera:
 
Min Z  =  2X1 +     X2     +  3X3    + 0S1 + 0S2 + MA1 + 0S3 + MA2
Sujeto a:
                    3X1  +      X2      +  2X3      +   S1                                                            =    10
                       X1  -    2X2      +  3X3                      - S2   + A1                                    =     6
                     2X1 +    3X2      -     X3                                                 + S3                   =     9                   
                       X1 +       X2     +   2X3                                                                + A2    =     7          
C.N.N (Condición de No Negatividad)
 
2. Escribir en formato de Tabla Simplex.
 
Si lo escribimos como una matriz, indicando los nombres de las variables en negro queda asi:

 

Fig 1 

  X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2  
Min Z 2 1 3 0 0 M 0 M RHS
R1 3 1 2 1 0 0 0 0 10
R2 1 -2 3 0 -1 1 0 0 6
R3 2 3 -1 0 0 0 1 0 9
R4 1 1 2 0 0 0 0 1 7

 

Dónde X1, X2, X3 son las variables de decisión, S1, S2 y S3 son las variables de Holgura. R1, R2, R3, R4 son las restricciones y RHS son las disponibilidades o Requerimientos de las restricciones, (RHS= Right Hand Side: "el lado derecho" es decir los valores numéricos).

 

3. Definir la Variable que entra

 

Recordemos que tenemos un grupo de variables que llamamos base a las que tenemos en cuenta en cada iteración para dar la solución, las demás variables las llamamos No Básicas y se se toman con valor cero (de manera análoga a cuando resolvemos un sistema de ecuaciones que tiene más variables que ecuaciones, tenemos que hacer cierta cantidad de estas variables iguales a cero).

 

En la primera iteración la regla para escoger las variables que estarán en  la base es la siguiente:

-Si hay variables de decisión y de holgura, se toma la de holgura.

-Si hay variables de decisión, de holgura y artificiales se toma la variable artificial.

-Si hay variables de decisión y artificiales se toma la variable artificial.

 

Por esta razón para la primera restricción dónde hay variables de decisión (Xi) y la de holgura S1, tomamos la S1 para  la base, en la segunda restricción hay de holgura, de decisión y artificial, tomamos la artificial A1, en la tercera hay de decisión y de holgura, tomamos la de holgura S3 y por último en la cuarta restricción hay de decisión y artificial, por lo que tomamos la A2 para la base. Todas las demás se asumen en la primera iteración con valor cero.

 

Llenar la tabla inicial. Tal como se ve en la tabla de abajo. Hay muchos formatos de tablas, pero en esencia son el mismo. Esta el listado de variables que se tienen en la base (en la segunda columna rotulada como base), en la primera columna están los coeficientes de las variables básicas, luego vienen las restricciones con sus coeficientes, las disponibilidades/requerimientos de las restricciones en la columna RHS, una columna vacía llamada Theta que ya llenaremos. Las dos ultimas filas son para determinar que variable va a entrar a la base. Algunas personas omiten la fila Z. Realmente no es necesaria, sólo para dar un poco más de claridad a la iteración.

 

La fila Z es el resultado de la suma del producto de la columna 'coef' y de cada columna en la restricción, así:

    0 * 3 + M * 1     +  0*2   +  M*1    =  2M

    0 * 1 + M * (-2) +   0*3   +  M*1    =  -M

    0 * 2 + M * 3    +   0 *-1 +  M*2    =  5M ...de igual manera para las otras 5 columnas.

 

La fila Cj-Zj es el resultado de restar el coeficiente de la función objetivo (la segunda fila de negro) con el valor de Z que acabamos de calcular.

      2-2M = 2-M (evidente!)

      1-(-M) = 1+M... etc.

 

En este momento nos hacemos la siguiente pregunta: cuál variable al entrar a la base hace que la función objetivo disminuya más (porque estamos minimizando)? O en otras palabras, cuál es el valor más negativo de Cj-Zj? Recordemos que M representa un número finito, muy, muy grande.  Rapidamente nos damos cuenta que corresponde a 3-5M, puesto que de todas es la que tiene el valor negativo de M con mayor valor absoluto. Si no lo ve tan rápido, haga lo siguiente: reemplace M por un valor grande positivo en la fila Cj -Zj, digamos por 1000.000, notará de inmediato que el valor más negativo esta en la columna respectiva a la variable X3. Por lo tanto ésta variable debe entrar a reemplazar a otra variable en la base... a cuál??

 

Fig 2 

    X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2      
Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta  
0 S1 3 1 2 1 0 0 0 0 10 5.00  
M A1 1 -2 3 0 -1 1 0 0 6 2.00 Sale
0 S3 2 3 -1 0 0 0 1 0 9 M  
M A2 1 1 2 0 0 0 0 1 7 3.50  
  Z 2M -M 5M 0 -M M 0 M 13M    
  Cj- Zj 2-2M 1+M 3-5M 0 M 0 0 0      
        Entra                

3. Definir la Variable que Sale

Para establecer que variable debe salir de la base, hacemos un cociente entre la disponibilidad (RHS) y la columna de la variable que entra, en nuestro caso, acabamos de decir que es la variable X3. Este cociente lo vamos a llamar Theta. Algunos libros lo llaman 'ratio'. 
   10 /2 = 5
   6 / 3  = 2
   9 / -1 = ... bueno, en caso que dividamos por un valor negativo, no lo vamos a tener en cuenta para salir, por lo que lo rotulamos como M.
   7/2   = 3.5
 
La variable que más nos restringe, por lo tanto la que el valor de theta es menor (pero positivo) es de 2, correspondiendo a la variable A1. Por lo tanto sale A1 y entra X3.
 
A la intersección entre la columna de la variable que entra y de la fila de la variable que sale, la llamamos pivote. Sobre ella se empleará el método de Gauss-Jordan. Aquí siempre he señalado el pivote de color verde.  En la fig 2 corresponde al valor 3.
 
4. Iteración: Gauss-Jordan
 
Luego que se ha encontrado que variable sale de la base, y cual entra y que pr lo tanto ya tenemos una celda pivote, es necesario realizar la eliminación gaussiana. Ello lo podemos resumir como:
 
  * Convertir la celda pivote en 1, dividiendo toda la fila por ella misma
  *  Convertir todas las celdas por  encima y por debajo de la celda pivote en cero.
 
Vamos paso por paso: Convertir la celda pivote en 1.
 
Llenamos un formato vacio simplex,  la fila que contiene el pivote la vamos a pasar al nuevo formato convertida mediante la siguiente operación: dividimos toda la fila por el valor del pivote. (Para convertir el pivote en 1).
 
1/3  =  0.33
-2/3 =  -0.67
3/3  = 1(Pivote)
0/3= 0
-1/3= -0.33
1/3=0.33
0/3=0
0/3=0
6/3= 2 (En la columna del RHS) 
 
Y la pasamos al nuevo formato (Fig3).
 Esta nueva fila que hemos calculado va a servir para convertir las demas celdas por la columna del pivote en cero, como es el requisito del método. Fijemonos un momento en la fig 2, en el pivote en verde, que contiene el 3, precisamente el que acabamos de convertir en 1. Por encima encontramos el 2 y por debajo encontramos el -1 y el 2. Estos valores son los que debemos convertir en ceros.  Para ello hacemos operaciones entre filas y columnas de la siguiente manera (s recuerda bien los detalles de esto, de sus clases de algebra lineal sientase libre de saltar esta explicación): Multiplicamos la fila que contenia el pivote por el opuesto de cada número que deseamos eliminar y se lo sumamos a la fila que deseamos convertir.  Ej
 
Para la primera fila que contiene el 2 que deseamos eliminar multiplicamos la fila pivote por -2 y se la sumamos asi:
 
La fila pivote que quedó convertida en esto: 
0.33    -0.67    1    0    -0.33    0.33    0    0    2
La multiplicamos por -2 y nos da:
-0.67    1.33    -2    0    0.67    -0.67   0    0    -4
El valor anterior lo sumamos componente a componente a la fila en la que queremos hacer la eliminación: que es la siguinte:
3    1    2    1    0    0    0    0    10
Y el resultado es:
2.33    2.33   0    1    0.67    -0.66    0    0    6
 
Este valor es el que copiamos en el nuevo formato en la fig 3 en la fila correspondiente, la primera.
 
Repetimos este procedimiento para la fila 3 y la fila 4. Con ello ya llenamos todo el formato.  
 
5. Prueba de Optimidad:

 

 La prueba de optimidad se debe hacer cada vez que se evalua si hay una variable que debe entrar a la base. Y es sencillamente lo siguiente. Se hace la pregunta: Hay alguna variable que al entrar mejora la solución? Ello lo vemos en la fila Cj-Zj. Si al calcular esta fila aún hay valores negativos y estamos minimizando, entonces es posible mejorar aún más la solución. Lo mismo para el caso de la maximización. Si hay valores positivos en la fila Cj-Zj y estamos maximizando, aún no hemos llegado al óptimo. 

 

En la fig 2 nos damos cuenta que habían todavia valores negativos en Cj-Zj, por lo tanto no se había terminado, ahora en la fig 3, aún quedan valores negativos, el más negativo de ellos esta en la variable X2 por lo tanto debe entrar.

 

Continuando el algoritmo en la fig3 evaluamos que la variable A2 debe salir, la reemplazamos en el tablero de la figura 4. Hacemos gauss-jordan, luego calculamos Z y calculamos Cj-Zj. 

 

Fig 3. 

    X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2      
Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta  
0 S1 2.33 2.33 0.00 1.00 0.67 -0.67 0 0 6 2.57  
3 X3 0.33 -0.67 1.00 0.00 -0.33 0.33 0 0 2 M  
0 S3 2.33 2.33 0.00 0.00 -0.33 0.33 1 0 11 4.71  
M A2 0.33 2.33 0.00 0.00 0.67 -0.67 0 1 3 1.29 Sale
  Z 1+0.33M -2+2.33M 3 0 -1+0.66M 1-0.66M 0 M 6+3M    
  Cj- Zj 1-0.33M 3-2.33M 0 0 1-0.66M -1+1.66M 0 0      
      Entra                  

 

Aquí en el tablero de la figura 4, evaluamos si hay algun valor negativo en la fila Cj-Zj, nos damos cuenta que no, por lo que no hay ninguna variable que al entrar mejore la solución.

 

Hemos llegado al óptimo: La solución es Z=9.8571 X1=0 (Por que no estaba en la base.)  X2= 1.29, X3=2.86

 

Fig 4 

    X1 X2 X3 S1 S2 A1 S3 A2    
Coef Base 2 1 3 0 0 M 0 M RHS Theta
0 S1 2.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 3.00  
3 X3 0.43 0.00 1.00 0.00 -0.14 0.14 0.00 0.29 2.86  
0 S3 2.00 0.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 8.00  
1 X2 0.14 1.00 0.00 0.00 0.29 -0.29 0.00 0.43 1.29  
  Z 1.43 1.00 3.00 0.00 -0.14 0.14 0.00 1.29 9.8571  
  Cj- Zj 0.57 0.00 0.00 0.00 0.14 M+0.62 0.00 M+2.43    


Nota: al escribir esto he tenido la duda de si explico demasiado básico para mis lectores o si por el contrario asumo cosas y no explico lo suficiente. Usted tiene la palabra en los comentarios.

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